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    对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为数列{an}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an），则称{△kan}为数列{an}的k阶差分数列．
    （1）若数列{an}的通项公式为an=5n2+3n（n∈N+），则{△an}，{△2an}是什么数列？
    （2）若数列{an}的首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N+），设数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式及
    lim
    n→∞
    Sn+n-2
    n•3n
    的值．
    分析：（1）利用：△an=an+1-an（n∈N+），∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=，即可求得数列通项，从而可得结论；
    （2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，可得△an-an=2n，即可得an+1-2an=2n，，构造可得
    an+1
    2n+1
    -
    an
    2n
    =
    1
    2
    ，结合等差数列的通项可求
    an
    2n
    ，进而可求{an}的通项公式，从而可求数列{an}的前n项和为Sn，进而可求极限．
    解答：解：（1）∵△an=an+1-an，an=5n2+3n
    ∴△an=5（n+1）2+3（n+1）-（5n2+3n）=10n+8
    ∴{△an}是以18 为首项，10为公差的等差数列
    ∵△2an=△an+1-△an=an+2-an+1-（an+1-an）=20n+26
    ∴{△2an}是以46为首项，20为公差的等差数列
    （2）由△2an-△an+1+an=-2n及△2an=△an+1-△an，
    得△an-an=2n，
    ∴an+1-2an=2n，
    ∴
    an+1
    2n+1
    -
    an
    2n
    =
    1
    2

    ∴数列{{
    an
    2n
    }    }是首项为
    1
    2
    ，公差为
    1
    2
    的等差数列，
    ∴
    an
    2n
    =
    1
    2
    +(n-1)×
    1
    2
    ，
    ∴an=n•2n-1．
    设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
    则2Sn=2+2×22+…+n×2n②
    ①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
    ∴-Sn=2n-1 -n×2n
    ∴Sn=-2n+1 +n×2n
    ∴
    lim
    n→∞
    Sn+n-2
    n•3n
    =
    lim
    n→∞
    -2n+1 +n×2n+n-2
    n•3n
    =
    lim
    n→∞
    -2n+n×2n+n-1
    n•3n
    =0
    点评：本题主要考查了由新定义构造等差数列求解数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，考查极限的求法，综合性较强，有一定难度．
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    对于数列{an}，若满足a1，
    a2
    a1
    ，
    a3
    a2
    ，…，
    an
    an-1
    ，…    是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（　　）
    A、2100
    B、299
    C、25050
    D、24950

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
    log2(1-x)，x≤0
    f(x-1)-f(x-2)，x＞0

    （1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N*满足的关系式；
    （2）对于数列{an}，若存在正整数T，使得an+T=an，则称数列{an}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{an}为周期数列，指出它的周期T，并求a2012的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
    （Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
    （Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （Ⅲ）判断数列an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    (n≥2)    是否为有界数列，并证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
    （1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
    （2）若{an}满足a1=p∈[0， 
    1
    2
    )    ，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
    （3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
    2009
    2n
    ，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）对于数列{an}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N*，均有|an|≤T，则称{an}为有界数列．以下数列{an}为有界数列的是
     
    ；（写出满足条件的所有序号）
    ①an=n-2②an=
    1
    n+2
    ③
    an
    an+1
    =2，a1=1
    （2）数列{an}为有界数列，且满足an+1=-an2+2an，a1=t（t＞0），则实数t的取值范围为
     
    ．

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