Question

设数列{a_n}的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=2n²+3n+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设数列{}的前n项和为T_n，是否存在最大正整数β，使得对[1，β+1]内的任意n∈N^*Z，不等式Τ_n＜恒成立？若存在，求出β的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用递推公式S_n+1-S_n=a_n+1求得当n≥3时数列{a_n}的通项公式a_n，再由已知计算a₁、a₂的值，验证后得n∈N^*时，数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）先由列项求和的方法求数列{}的前n项和为T_n，再利用数列{T_n}的单调性，得T_n在[1，β+1]上的最大值，解不等式Τ_n＜，可得β的范围
解答：解：（I）由S_n+1=2n²+3n+1，得S_n=2（n-1）²+3（n-1）+1  （n≥2）
∴S_n+1-S_n=4n+1，∴a_n+1=4n+1
∴a_n=4n-3  （n≥3）
当n=1时，S₂=6，∵a₁=1，∴a₂=5
∴a_n=4n-3  （n∈N^*）
（II）∵==（-）
∴T_n==（1-）
∵（1-）在[1，β+1]上单调递增，（β∈N^*）
∴[（1-）]_max=（1-）
∴（1-）＜，∴
∵β∈N^*，∴β≤14
∴存在最大正整数β=14，使得对[1，β+1]内的任意n∈N^*，不等式Τ_n＜恒成立
点评：本题考查了利用数列前n项和公式S_n求数列通项公式的方法，裂项求和的方法，数列的函数性质及其应用