Question

11．如图，三棱锥A-BCD中，对棱AB与CD所成角为60°，且AB=CD=α，该三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
（1）求证：CD∥平面EFGH；
（2）E在AD的何处时，截面面积最大？并求面积的最大值；
（3）求证：四边形EFGH的周长为定值．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥GH，从而EF∥平面BCD，进而EF∥CD，由此能证明CD∥平面EFGH．
（2）设$\frac{AE}{AD}$=x，则S=ax•（1-x）asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（1-x）x{a}^{2}$，由此能求出E为AD的中点时截面面积最大，并能求出面积的最大值．
（3）四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH），由此能证明四边形EFGH的周长为定值．

解答 （1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH，又GH?平面BCD，EF?平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
∵平面ACD∩平面BCD=CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD，
∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH．
（2）解：设$\frac{AE}{AD}$=x，则EF=xCD=ax，EH=（1-x）AB=（1-x）a，∠FEH=60°，
∴S=ax•（1-x）asin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}（1-x）x{a}^{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，${S}_{max}=\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，
∴E为AD的中点．
（3）证明：由（2）知，
四边形EFGH的周长：
C=2（EF+EH）=2[ax+a（1-x）]=2a为定值．

点评 本题考查线面平行的证明，考查截面面积最大时点的位置的确定，考查四边形EFGH的周长为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．