Question

18．已知a^2x=$\sqrt{2}$+1（a＞0，a≠1），试求$\frac{{a}^{2x}+{a}^{-2x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$的值．

Answer 1

分析 直接利用已知条件化简求出a^x+a^-x的值，然后求解表达式的值．

解答 解：a^2x=$\sqrt{2}$+1（a＞0，a≠1），
（a^x+a^-x）²=a^2x+a^-2x+2=$\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}+2$=$\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1+2$=2+2$\sqrt{2}$．
a^x+a^-x=$\sqrt{2\sqrt{2}+2}$．
$\frac{{a}^{2x}+{a}^{-2x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{\sqrt{2}+1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{2\sqrt{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2\sqrt{2}+2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2\sqrt{2}+2}}$=$\frac{2}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}$．

点评 本题考查有理指数幂以及根式的运算，考查计算能力．