Question

已知动圆P过点N(2，0)并且与圆M：(x＋2)²＋y²＝4相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线l与轨迹W交于A、B两点．

(Ⅰ)求轨迹W的方程；

(Ⅱ)若，求直线l的方程；

(Ⅲ)对于l的任意一确定的位置，在直线x＝上是否存在一点Q，使得，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依题意可知　∴，∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设其方程为，则　∴，∴轨迹W的方程为 　　(Ⅱ)当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，设的方程为，由得，又设， 　　则 　　由①②③解得，∵　∴ 　　∴　代入①②得， 　　消去得，即，故所求直线的方程为：； 　　(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线相交；若直线的斜率存在，则设直线的方程为， 　　由(2)知且，又为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e＝2，则 　　设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径的距离为d，则 　　∴ 　　∵　∴即，即直线与圆S相交．综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；故对于的任意一确定的位置，与直线上存在一点Q(实际上存在两点)使得