Question

已知：三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调增，在
（﹣1，2）上单调减，当且仅当x＞4时，f（x）＞x²﹣4x+5．
（1）求函数f （x）的解析式；
（2）若函数，求h（x）的单调区间

Answer 1

解：（1）∵f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单增，（﹣1，2）上单减
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有两根﹣1，2
∴ 
令 
g′（x）=3x²﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2）
 单调增， 单调减
故  故 
（2）∵f′（x）=3x²﹣3x﹣6
h（x）的定义域：
∴h（x）=x+1﹣（m+1）ln（x+m）（x＞﹣m且x≠2）
∴ 
①m＞﹣1时，﹣m＜1．x∈（﹣m，1）时，h'（x）＜0；
x∈（1，2）∪（2，+∞）时，h'（x）＞0
∴h（x）在（﹣m，1）单减；在（1，2），（2，+∞）上单增；
②﹣2＜m≤﹣1时，h'（x）＞0在定义域内恒成立，
h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上单增
③当m≤﹣2时，此时h（x）的定义域为：（﹣m，+∞），
h（x）在（﹣m，+∞）上单增
综上：当m≤﹣2时，h（x）在（﹣m，+∞）上单增；
当﹣2＜m≤﹣1时，h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上单增；
当m＞﹣1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（﹣m，1）单减．