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已知函数y=fx)的图象是自原点出发的一条折线. 当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时,该图象是斜率为bn的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}由fxn)=nn=1,2,…)定义

 

(Ⅰ)求x1x2xn的表达式;

 

(Ⅱ)计算xn

 

(Ⅲ)求fx)的表达式,并写出其定义域.

(Ⅰ)解:依题意f(0)=0,又由fx1)=1,当0≤y≤1时,

函数y=fx)的图象是斜率为b0=1的线段,故由=1得x1=1.

 

又由fx2)=2,当1≤y≤2时,函数y=fx)的图象是斜率为b的线段,

 

故由b,即x2x1       得x2=1+

 

x0=0.由函数y=fx)图象中第n段线段的斜率为bn1,故得bn1

 

fxn)=nfxn1)=n-1;

xnxn1=()n1n=1,2,….

由此知数列{xnxn1}为等比数列,其首项为1,公比为

 

b≠1,得xn=1++…+,即xn

 

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知xnb>1时,=

 

当0<b<1时,n→∞,xn也趋向于无穷大,limxn不存在

 

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知:当0≤y≤1时,y=x,即当0≤x≤1时,fx)=x

 

n≤y≤n+1即xnxn1,由(Ⅰ)可知,

fx)=nbnxxn)(n=1,2,3,…)

由(Ⅱ)知:当b>1时,y=fx)的定义域为[0,).

当0<b<1时,y=fx)的定义域为[0,+∞).

图1-30


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