Question

138、设函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），且f（2）=3，则f（2006）+f（2007）=

3

．

Answer 1

分析：本题求的是一个抽象函数的函数值，我们要根据已知条件，凑出函数的某些特殊函数值，观察到函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），易想到f（-3）与f（3）可能是解决问题的突破口．

解答：解：由f（x+6）=f（x）+f（3）
令x=-3，则有f（-3+6）=f（-3）+f（3）
即f（3）=f（-3）+f（3）
所以f（-3）=0
由已知f（x）是R上的偶函数
所以f（3）=f（-3）=0
所以f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）
所以T=6
f（2006）+f（2007）=f（2）+f（3）=3
故答案为：3

点评：对于抽象函数的函数值的求法，我们不可能求出函数的解析式，然后采用代入求值的办法处理，故我们要根据已知的条件，凑出一些特殊点的函数值，借此分析函数的性质，本题中由于所求的是f（2006）+f（2007）故我们要探究的关键是函数的周期性．