Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{n+1}}{（{b}_{n}+2）^{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式，再求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）S_n=3n²+8n，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=6n+5，
n=1时，a₁=S₁=11，∴a_n=6n+5；
∵a_n=b_n+b_n+1，
∴a_n-1=b_n-1+b_n，
∴a_n-a_n-1=b_n+1-b_n-1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a₁=b₁+b₂，
∴11=2b₁+3，
∴b₁=4，
∴b_n=4+3（n-1）=3n+1；
（Ⅱ）c_n=$\frac{（{a}_{n}+1）^{n+1}}{（{b}_{n}+2）^{n}}$=$\frac{（6n+6）^{n+1}}{（3n+3）^{n}}$=$\frac{（6n+6）^{n}（6n+6）}{（3n+3）^{n}}$=$\frac{{6}^{n}（n+1）^{n}（6n+6）}{{3}^{n}（n+1）^{n}}$=$\frac{{6}^{n}（6n+6）}{{3}^{n}}$=$\frac{（2×3）^{n}（6n+6）}{{3}^{n}}$=$\frac{（2×3）^{n}（6n+6）}{{3}^{n}}$=6（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=6[2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ]①，
∴2T_n=6[2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹]②，
①-②可得
-T_n=6[2•2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹]
=12+6×$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-6（n+1）•2ⁿ⁺¹
=（-6n）•2ⁿ⁺¹=-3n•2ⁿ⁺²，
∴T_n=3n•2ⁿ⁺²．

点评 本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．