Question

13．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．

Answer 1

分析 可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由题意可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由2|AB|=3|BC|，可得
2•$\frac{2{b}^{2}}{a}$=3•2c，即为2b²=3ac，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，可得2e²-3e-2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．