Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y²=2px（p＞0）．
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．
①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．
（2）：①设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通过抛物线方程，求解k_PQ，通过P，Q关于直线l对称，点的k_PQ=-1，推出$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=-p$，PQ的中点在直线l上，推出$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=2-p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②利用线段PQ中点坐标（2-p，-p）．推出$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{y}_{1}{y}_{2}=4{p}^{2}-4p}\end{array}\right.$，得到关于y²+2py+4p²-4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．

解答 解：（1）∵l：x-y-2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），
即抛物线的焦点坐标（2，0）．
∴$\frac{p}{2}=2$，
∴抛物线C：y²=8x．
（2）证明：①设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则：$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=2p{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=2p{x}_{2}}\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}={x}_{1}}\\{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}={x}_{2}}\end{array}\right.$，k_PQ=$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又∵P，Q关于直线l对称，∴k_PQ=-1，即y₁+y₂=-2p，∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=-p$，
又PQ的中点在直线l上，∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}+2$=2-p，
∴线段PQ的中点坐标为（2-p，-p）；
②因为Q中点坐标（2-p，-p）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{2p}=4-2p}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=8p-4{p}^{2}}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=-2p}\\{{y}_{1}{y}_{2}=4{p}^{2}-4p}\end{array}\right.$，即关于y²+2py+4p²-4p=0，有两个不相等的实数根，
∴△＞0，（2p）²-4（4p²-4p）＞0，
∴p∈$（0，\frac{4}{3}）$．

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．