Question

16．如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；
（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵P-ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，
∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，
又E为D在平面PAB内的正投影，
∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，
∵PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，
则AB⊥PG，
又PA=PB，
∴G是AB的中点；
（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．
∵正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，
∴PB⊥PA，PB⊥PC，
又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，
即点F为E在平面PAC内的正投影．
连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．
由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=$\frac{2}{3}$CG．
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=$\frac{2}{3}$PG，DE=$\frac{1}{3}$PC．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3$\sqrt{2}$，PE=2$\sqrt{2}$．
在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．
所以四面体PDEF的体积V=$\frac{1}{3}$×DE×S_△PEF=$\frac{1}{3}$×2×$\frac{1}{2}$×2×2=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．