Question

11．若函数f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-1，$\frac{1}{3}}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}}$]
• D． [-1，-$\frac{1}{3}}$]

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（-1≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，-1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=x-$\frac{1}{3}$sin2x+asinx的导数为f′（x）=1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx，
由题意可得f′（x）≥0恒成立，
即为1-$\frac{2}{3}$cos2x+acosx≥0，
即有$\frac{5}{3}$-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx≥0，
设t=cosx（-1≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，
当t=0时，不等式显然成立；
当0＜t≤1时，3a≥4t-$\frac{5}{t}$，
由4t-$\frac{5}{t}$在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值-1，
可得3a≥-1，即a≥-$\frac{1}{3}$；
当-1≤t＜0时，3a≤4t-$\frac{5}{t}$，
由4t-$\frac{5}{t}$在[-1，0）递增，可得t=-1时，取得最小值1，
可得3a≤1，即a≤$\frac{1}{3}$．
综上可得a的范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
另解：设t=cosx（-1≤t≤1），即有5-4t²+3at≥0，
由题意可得5-4+3a≥0，且5-4-3a≥0，
解得a的范围是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．