Question

1．如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，$\frac{1}{2}$OA为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=$\frac{1}{2}$OA，则AB是圆O的切线．
（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=$\frac{1}{2}$OA，
∴直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．
∵OA=OB，TA=TB，
∴OT为AB的中垂线，
同理，OC=OD，TC=TD，
∴OT为CD的中垂线，
∴AB∥CD．

点评 本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．