Question

16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π-（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a²+b²-2ab•$\frac{1}{2}$，
∴（a+b）²-3ab=7，
∵S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ab=6，
∴（a+b）²-18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．