Question

4．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．

Answer 1

分析 结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．

解答 解：由sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，
可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，
又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$ ②，
则tanAtanBtanC=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$•tanBtanC，
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-$\frac{2（tanBtanC）^{2}}{1-tanBtanC}$，
令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
由②式得1-tanBtanC＜0，解得t＞1，
tanAtanBtanC=-$\frac{2{t}^{2}}{1-t}$=-$\frac{2}{\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}}$，
$\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}$=（$\frac{1}{t}-\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，由t＞1得，-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{{t}^{2}}-\frac{1}{t}$＜0，
因此tanAtanBtanC的最小值为8，
另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，
sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，
两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，
∵-tanA=tan（B十C）=$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，
∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，
∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2$\sqrt{2tanAtanBtanC}$，
令tanAtanBtanC=x＞0，
即x≥2$\sqrt{2x}$，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，
解得tanB=2+$\sqrt{2}$，tanC=2-$\sqrt{2}$，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．

点评 本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性．