Question

13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，a=1，则b=$\frac{21}{13}$．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$，代入计算即可得到所求值．

解答 解：由cosA=$\frac{4}{5}$，cosC=$\frac{5}{13}$，可得
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-\frac{16}{25}}$=$\frac{3}{5}$，
sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{25}{169}}$=$\frac{12}{13}$，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{3}{5}$×$\frac{5}{13}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{63}{65}$，
由正弦定理可得b=$\frac{asinB}{sinA}$
=$\frac{1×\frac{63}{65}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{21}{13}$．
故答案为：$\frac{21}{13}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．