Question

7．已知点M（1，0），A，B是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的动点，且$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$的取值范围是[$\frac{2}{3}$，9]．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，可得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}•（\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}）$=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，设A（2cosα，sinα），可得${\overrightarrow{MA}}^{2}$=（2cosα-1）²+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，即可求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{MA}•（\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}）$=${\overrightarrow{MA}}^{2}$，
设A（2cosα，sinα），则${\overrightarrow{MA}}^{2}$=（2cosα-1）²+sin²α=3cos²α-4cosα+2=3（cosα-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$，
∴cosα=$\frac{2}{3}$时，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最小值为$\frac{2}{3}$；cosα=-1时，${\overrightarrow{MA}}^{2}$的最大值为9，
故答案为：[$\frac{2}{3}$，9]．

点评 本题考查椭圆方程，考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．