Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求$\frac{AM}{AP}$的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），进一步求出向量$\overrightarrow{PB}、\overrightarrow{PD}、\overrightarrow{PC}$的坐标，再求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，设PB与平面PCD的夹角为θ，由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞|=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}|$求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y₁，z₁），由$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}$可得M（0，1-λ，λ），$\overrightarrow{BM}=（-1，-λ，λ）$，由BM∥平面PCD，可得
$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=0$，由此列式求得当$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$时，M点即为所求．

解答 （Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC=$\sqrt{5}$，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），
则$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1），\overrightarrow{PD}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{PC}=（2，0，-1），\overrightarrow{CD}=（-2，-1，0）$，
设$\overrightarrow{n}=（{x}_{0}，{y}_{0}，1）$为平面PCD的法向量，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-{y}_{0}-1=0}\\{2{x}_{0}-1=0}\end{array}\right.$，则$\overrightarrow{n}=（\frac{1}{2}，-1，1）$．
设PB与平面PCD的夹角为θ，则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PB}＞|=|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PB}|}|$=$|\frac{\frac{1}{2}-1-1}{\sqrt{\frac{1}{4}+1+1}×\sqrt{3}}|=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设$\frac{AM}{AP}=λ$，M（0，y₁，z₁），
由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），$\overrightarrow{AP}=（0，-1，1）$，B（1，1，0），$\overrightarrow{AM}=（0，{y}_{1}-1，{z}_{1}）$，
则有$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AP}$，可得M（0，1-λ，λ），
∴$\overrightarrow{BM}=（-1，-λ，λ）$，
∵BM∥平面PCD，$\overrightarrow{n}=（\frac{1}{2}，-1，1）$为平面PCD的法向量，
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=0$，即$-\frac{1}{2}+λ+λ=0$，解得$λ=\frac{1}{4}$．
综上，存在点M，即当$\frac{AM}{AP}=\frac{1}{4}$时，M点即为所求．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题．