Question

6．设抛物线$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（$\frac{7}{2}$p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3$\sqrt{2}$，则p的值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．

解答 解：抛物线$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数，p＞0）的普通方程为：y²=2px焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（$\frac{7}{2}$p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，
|CF|=3p，|AB|=|AF|=$\frac{3}{2}$p，A（p，$\sqrt{2}p$），
△ACE的面积为3$\sqrt{2}$，$\frac{AE}{EF}=\frac{AB}{CF}=\frac{1}{2}$，
可得$\frac{1}{3}{S}_{△AFC}$=S_△ACE．
即：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3p×\sqrt{2}p$=3$\sqrt{2}$，
解得p=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力．