Question

16．设x＞0，y＞0．且2^x-3=（$\frac{1}{2}$）^y，则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值为3．

Answer 1

分析 2^x-3=（$\frac{1}{2}$）^y，可得x+y=3．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵2^x-3=（$\frac{1}{2}$）^y，∴x-3=-y，即x+y=3．
又x＞0，y＞0．
则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$=$\frac{1}{3}（x+y）$$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）$=$\frac{1}{3}（5+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}）$$≥\frac{1}{3}$$（5+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}）$=3，当且仅当y=2x=2时取等号．
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．