Question

16．f（x）是定义域为R的偶函数，f′（x）为f（x）的导函数，当x≤0时，恒有f（x）+xf′（x）＜0，设g（x）=xf（x），则满足g（2x-1）＜g（3）的实数x的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （-1，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式，解出即可．

解答 解：定义在R上的偶函数f（x），
所以：f（-x）=f（x）
由f（x）的导函数为f′（x），
当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）+f（x）＜0
即：[xf（x）]′＜0
所以：函数F（x）=xf（x）在（-∞，0）上是单调递减函数．
由于f（x）为偶函数，
令g（x）=xf（x），
则：g（x）为奇函数．
所以函数g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
则：满足g（3）＞g（2x-1）满足的条件是：2x-1＜3，解得：x＜2，
所以x的范围是：（-∞，2）
故选：D．

点评 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性和奇偶性的应用，构造性函数解不等式组．属于中档题．