Question

7．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则双曲线的离心率等于$\sqrt{5}$，则该双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0），从而得出双曲线的右焦点为F（1，0）．再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．

解答 解：∵抛物线方程为y²=4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（1，0）．
∵双曲线的一个焦点与抛物y²=4x的焦点重合，
∴双曲线的右焦点为F（1，0）
∴a²+b²=1…①
∵双曲线的离心率等$\sqrt{5}$，∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=5…②
由①②联解，得a²=$\frac{1}{5}$，b²=$\frac{4}{5}$，
∴该双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{5}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{4}{5}}$=1．

点评 本题给出抛物线的焦点为双曲线右焦点，求双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．