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    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    (1)  求证：是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

    解：（Ⅰ）(1)由题知，且

    .

    是数列的母函数；

    (2) 由(1) 知：是首项和公差均为的等差数列，故.

                ①

           ②

    ①-②得：.

    .

    （Ⅱ）由题知：，.

    .

    从而是以为首项，为公比的等比数列.

    .

    又

    故当时，有：

    .

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列{xn}和函数f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），则称f（x）是数列{xn}的母函数．
    （Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
    1
    2
    )=1    ；又数列{an}满足：an=g(
    1
    2n
    )    ．
    求证：（1）f（x）=x+2是数列{2nan}的母函数；
    （2）求数列{an}的前项n和Sn．
    （Ⅱ）已知f(x)=
    2012x+2
    x+2013
    是数列{bn}的母函数，且b1=2．若数列{
    bn-1
    bn+2
    }    的前n项和为Tn，求证：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

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    科目：高中数学 来源：2015届四川省成都外国语学校高一下学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    求证：(1)是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    (1) 求证：是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

    （Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

    (1)  求证：是数列的母函数；

    (2)求数列的前项和.

    （Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

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