Question

对于无穷数列和函数，若，则称是数列的母函数.

（Ⅰ）定义在上的函数满足：对任意，都有，且；又数列满足：.

求证：(1)是数列的母函数；

(2)求数列的前项和.

（Ⅱ）已知是数列的母函数，且.若数列的前项和为，求证：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）(1) 由题知，，是数列的母函数

(2) （Ⅱ），，从而是以为首项，为公比的等比数列

又故当时，有

，化简得结论

【解析】

试题分析：（Ⅰ）(1)由题知，且

.

是数列的母函数；

(2) 由(1) 知：是首项和公差均为的等差数列，故.

           ①

      ②

①-②得：.

.

（Ⅱ）由题知：，. .

从而是以为首项，为公比的等比数列.

.

又

故当时，有：

.

考点：信息题及数列求和

点评：求解本题首先要正确理解所给信息母函数的实质，将其性质代入相应的函数式中推理；第一问的数列求和用到了错位相减法，这种方法是数列求和题常用到的方法，其适用于通项公式为关于n的一次函数式与指数式的乘积形式的数列