Question

已知函数．

（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间．

 

Answer 1

（1）；（2）当时，f（x）的单调递增区间是（－1,0），单调递减区间是（0，＋∞）；当,f（x）的单调递增区间是（－1,0）和（，＋∞），单调递减区间是（0，）．

当,f（x）的单调递增区间是（－1，＋∞）；当时，f（x）的单调递增区间是（－1，）和（0，＋∞），单调递减区间是（，0）

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析：解（1）当k＝2时，f（x）＝（1＋x）－x＋x2，f′（x）＝－1＋2x．

由于f（1）＝，f′（1）＝，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－＝ （x－1），即3x－2y＋2ln 2－3＝0．

（2），x∈（－1，＋∞）．

当k＝0时，f′（x）＝－．所以，在区间（－1,0）上，f′（x）>0；在区间（0，＋∞）上，f′（x）<0．

故f（x）的单调递增区间是（－1,0），单调递减区间是（0，＋∞）．

当0<k<1时，由，得x1＝0，x2＝>0．

所以，在区间（－1,0）和（，＋∞）上，f′（x）>0；在区间（0，）上，f′（x）<0．

故f（x）的单调递增区间是（－1,0）和（，＋∞），单调递减区间是（0，）．

当k＝1时，f′（x）＝．故f（x）的单调递增区间是（－1，＋∞）．

当k>1时，由＝0，得x1＝∈（－1,0），x2＝0．

所以，在区间（－1，）和（0，＋∞）上，f′（x）>0；在区间（，0）上，f′（x）<0．

故f（x）的单调递增区间是（－1，）和（0，＋∞），单调递减区间是（，0）．

考点：（1）求切线的斜率；（2）利用导数求函数的单调区间.