Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）求证：对一切n∈N^*且n≥2，有a22+a32+…+an2＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）直接利用递推式，代入计算即可；
（2）对数列递推式取倒数，再叠乘，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（3）对通项平方，再放缩，利用裂项求和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

∴a3=

1

7

，a4=

1

10

．
（2）解：当n≥2时，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

-1=

n(1-an)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，依次代入得

1

an+1

-1=n(

1

a2

-1)．
整理得当n≥2时，an+1=

1

3n+1

，即an=

1

3n-2

．
又n=1时也成立，故an=

1

3n-2

，n∈N^*．
（3）证明：当k≥2时，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-4)(3k-1)

=

1

3

(

1

3k-4

-

1

3k-1

)，
从而

n

k=1

ak2=1+

n

k=2

ak2＜1+

1

3

(

1

2

-

1

3n-1

)＜

7

6

．所以有

n

k=2

ak2＜

1

6

．
综上，对一切n∈N^*，有

n

k=2

ak2＜

1

6

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的求解，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，利用放缩、裂项求和．