Question

A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．且a＜1
（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；
（Ⅱ）求函数f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．

Answer 1

分析：（1）根据方程2x²-3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．

解答：解：（1）记h（x）=2x²-3（1+a）x+6a（a＜1），
△=9（1+a）²-48a=（3a-1）（3a-9），
当△＜0，即

1

3

＜a＜1时，D=（0，+∞）；
当0＜a≤

1

3

时，D=（0，

3+3a- 9a2-30a+9

4

）∪（

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞），
当a≤0时，D=（

3+3a+ 9a2-30a+9

4

，+∞），
（2）由f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=0得x=1，a
①当

1

3

＜a＜1，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点，
②当0＜a≤

1

3

，∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0，
h（a）=2a²-3（1+a）a+6a=3a-a²＞0，
∴1∉D，a∈D，
∴f（x）在D内有一个极大值点a，
③当a≤0，则a∉D，
又∵h（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1＜0，
∴f（x）在D内有无极值点．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．