Question

（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²-3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x³-3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．

Answer 1

分析：（1）根据题意先求不等式2x²-3（1+a）x+6a＞0的解集，判别式△=9（1+a）²-48a=9a²-30a+9=3（3a-1）（a-3），通过讨论△＞0，△=0，△＜0分别进行求解
（2）对函数f（x）求导可得f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），由f'（x）=0，可得x=a或x=1，结合（1）中的a的范围的讨论可分别求D，然后由导数的符号判定函数f（x）的单调性，进而可求极值

解答：解：（1）令g（x）=2x²-3（1+a）x+6a△=9（1+a）²-48a=9a²-30a+9=3（3a-1）（a-3）
①当0＜a≤

1

3

时，△≥0，
方程g（x）=0的两个根分别为x1=

3a+3- 9a2-30a+9

4

，x2=

3a+3+ 9a2-30a+9

4

所以g（x）＞0的解集为(-∞，

3a+3- 9a2-30a+9

4

)∪(

3a+3+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
因为x₁，x₂＞0，所以D=A∩B=(0，

3a+3- 9a2-30a+9

4

)∪(

3a+3+ 9a2-30a+9

4

，+∞)
②当

1

3

＜a＜1时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）
综上所述，当0＜a≤

1

3

时，D=(0，

3a+3- 9a2-30a+9

4

)∪(

3a+3+ 9a2-30a+9

4

，+∞)；
当

1

3

＜a＜1时，D=（0，+∞）
（2）f'（x）=6x²-6（1+a）x+6a=6（x-a）（x-1），
令f'（x）=0，得x=a或x=1
①当0＜a≤

1

3

时，由（1）知D=（0，x₁）∪（x₂，+∞）
因为g（a）=2a²-3（1+a）a+6a=a（3-a）＞0，g（1）=2-3（1+a）+6a=3a-1≤0
所以0＜a＜x₁＜1≤x₂，
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，x1）	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	+
f（x）	↗	极大值	↘	↗

所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点
②当

1

3

＜a＜1时，由（1）知D=（0，+∞）
所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1
综上所述，当0＜a≤

1

3

时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；
当

1

3

＜a＜1时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．

点评：本题主要考查了一元二次不等式与二次不等式关系的相互转化，体现了分类讨论思想 的应用，函数的导数与函数的单调性、函数的极值的关系的应用．