Question

（2011•黄州区模拟）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“?”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“?”表示．设f(x)=

x2-3x+3

x-2

(x＞2)，g（x）=a^x（a＞1，x＞2）．
①若?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，则实数m的取值范围为

[3，+∞）

；
②若?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为

(1，

3

)

．

Answer 1

分析：①利用条件求出函数f（x）的值域即可．
②要使对?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），等价于x∈（2，+∞）时f（x）的值域为g（x）值域的子集，

解答：解：①由f(x)=

x2-3x+3

x-2

=

(x-2)2+(x-2)+1

x-2

=(x-2)+

1

x-2

+1，
因为x＞2，所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+

1

x-2

+1≥2

(x-2)? 1 x-2

+1=3，
所以函数f（x）的值域是[3，+∞），所以要使?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，则m≥3，
即实数m的取值范围为[3，+∞）．
②因为a＞1，x＞2，所以g（x）≥a²，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
则有a²≤3，解得1＜a≤

3

，即实数a的取值范围为（1，

3

]．
故答案为：①[3，+∞），②（1，

3

]．

点评：本题考查利用基本不等式求函数在闭区间上的最值、函数单调性的应用，考查恒成立问题，本题中对恒成立问题的等价转化是解决问题的关键．