Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为坐标原点，过点的直线与交于、两点.

（1）若直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与轴的交点为，且，，试探究：是否为定值.若为定值，求出该定值，若不为定值，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为定值.

【解析】

（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径，进而可求得直线的方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，可知当直线的斜率不存在时不满足题意，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出关于、的表达式，代入韦达定理化简计算可求得的值.

（1）由已知得.

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与圆相交，不合乎题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

由直线与圆相切，得，解得.

综上所述，直线的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意；

当直线与轴不重合时，设直线的方程为，设、.

若，则直线与轴平行，不合乎题意，所以.

联立，消去并整理得，由韦达定理得，

易知，由，得，

则，，同理可得，

所以，

所以为定值.