Question

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，则：
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E有可能是菱形；
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正确结论的序号是

 

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Answer 1

分析：由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．

解答：解：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，
∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；
当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误，③正确；
当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF?平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是基础题．