Question

已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点，点P是椭圆C上的动点．
（1）若椭圆C的离心率为

3

3

，且

PF1

•

PF2

的最大值为8，求椭圆C的方程；
（2）若△F₁PF₂为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C上的点P坐标为（x₀，y₀），可得

PF1

•

PF2

=x02+y02-c²，根据P是椭圆C上的点，满足y02=b²（1-

x02

a2

），且-a＜x₀＜a，所以

PF1

•

PF2

=（1-

b2

a2

）x02+b²-c²≤b²，当且仅当x02=a²时，

PF1

•

PF2

的最大值为b²=8，根据椭圆的离心率为

3

3

，可算出a²=12，从而得到椭圆C的方程；
（2）根据△F₁PF₂为等腰三角形，可得点P为直角顶点时，P是短轴顶点；P是锐角顶点时，长轴是焦距的1+

2

倍．由此计算可得椭圆C的离心率．

解答：解：（1）设椭圆C上的点P坐标为（x₀，y₀），可得

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=（-c-x₀）（c-x₀）+y02=x02+y02-c²
∵P是椭圆C上的点，满足y02=b²（1-

x02

a2

），且-a＜x₀＜a
∴

PF1

•

PF2

=（1-

b2

a2

）x02+b²-c²≤（1-

b2

a2

）•a²+b²-c²=b²
所以，当且仅当x02=a²时，

PF1

•

PF2

的最大值为b²=8，可得b=2

2

∵椭圆的离心率为

3

3

，∴

c

a

=

3

3

，可得a=

3

c，b=

2

c
∴c=2，a=2

3

，椭圆C的方程是

x2

12

+

y2

8

=1
（2）∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，
∴①点P为直角顶点时，P必定是短轴顶点，
OP=

1

2

F₁F₂=c，即b=c，

a2-c2

=c，可得a²=2c²，即a=

2

c
∴椭圆C的离心率e=

c

a

=

2

2

②当某焦点是直角顶点时，
2a=PF₁+PF₂=（1+

2

）F₁F₂=（1+

2

）×2c
∴椭圆C的离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

1

1+ 2

=

2

-1
综上所述，该椭圆的离心率e=

2

-1或

2

2

．

点评：本题已知椭圆上一点P满足数量积

PF1

•

PF2

的最大值为8，且离心率已知的情况下求椭圆的方程，着重考查了平面向量的数量积和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．