Question

17．如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2
（1）若点E、H分别为AB、DC的中点，求证：平面BD₁H∥平面A₁DE；
（2）若点G在AB上，且AG=$\frac{1}{3}$，求二面角D₁-GC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形BEDH是平行四边形，从而DE∥BH，推导出四边形EHD₁A₁是平行四边形，从而A₁E∥D₁H，由此能证明平面BD₁H∥平面A₁DE．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D₁-GC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，
点E、H分别为AB、DC的中点，
∴DH$\underset{∥}{=}$BE，∴四边形BEDH是平行四边形，∴DE∥BH，
又A₁D₁$\underset{∥}{=}$EH，∴四边形EHD₁A₁是平行四边形，∴A₁E∥D₁H，
∵A₁E∩DE=E，D₁H∩BH=H，A₁E，DE?平面A₁ED，D₁H，BH?平面BD₁H，
∴平面BD₁H∥平面A₁DE．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则G（1，$\frac{1}{3}$，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{G{D}_{1}}$=（-1，-$\frac{1}{3}$，1），$\overrightarrow{GC}$=（-1，$\frac{5}{3}$，0），
设平面GD₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{G{D}_{1}}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GC}=-x+\frac{5}{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（5，3，8），
平面GCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角D₁-GC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8}{\sqrt{98}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
∴二面角D₁-GC-D的余弦值为$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．