Question

已知S（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，…，a_n组成等差数列，n为正偶数，设S（1）=n²，S（-1）=n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明S(

1

2

)＜3.

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意知

na1+ n(n-1) 2 d=n2 a2-a1+a4-a3+…+an-an-1=n.

∴

a1+ n-1 2 d=n. d 2 n=n.

∴a₁=d，d=2．a_n=2n-1．（6分）
证明：（Ⅱ）由S(

1

2

)=1×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(2n-1)×(

1

2

)n，①
则

1

2

S(

1

2

)=1×(

1

2

)2+…+(2n-3)×(

1

2

)n+(2n-1)×(

1

2

)n+1②
①-②得，

1

2

S(

1

2

)=

1

2

+2[(

1

2

)2+…+(

1

2

)n]-(2n-1)•(

1

2

)n+1
=

1

2

+

2× 1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)•(

1

2

)n+1
=

3

2

-(

1

2

)n-1-(2n-1)•(

1

2

)n+1＜

3

2

（n是正偶数），
∴S(

1

2

)＜3.（13分）