Question

已知S（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，…，a_n组成等差数列，n为正偶数，设S（1）=n²，S（-1）=n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

Answer 1

解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意知
∴
∴a₁=d，d=2．a_n=2n-1．（6分）
证明：（Ⅱ）由，①
则②
①-②得，
=
=（n是正偶数），
∴（13分）
分析：（1）利用已知条件，写出S（1），S（-1）的表达式，结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，列方程求出a₁、d，进而写出a_n．
（2）利用错位相减法先求出s（），再利用极限思想证明即可．
点评：本题主要考查数列的递推公式、数列求和以及数列与表达式的综合应用问题，考查学生分析问题、解决问题以及推理论证的能力．