Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

．
（Ⅰ）证明数列{

1

an

-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a_i（a_i-1）＜3

Answer 1

分析：（1）对a_n+1=

2an

an+1

两边求倒数得

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1），由a₁=2得出数列{

1

an

-1}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．写出其通项公式化简可得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

证出即可．

解答：（Ⅰ）解：由a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

得，对n∈N^*，a_n≠0．
从而由a_n+1=

2an

an+1

两边取倒数得，

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

．
即

1

an+1

-1=

1

2

（

1

an

-1），
∵a₁=2，

1

a1

-1=-

1

2

．
∴数列{

1

an

-1}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴

1

an

-1=-

1

2

•

1

2

n-1=-(-

1

2

)n
∴

1

an

=1-

1

2n

=

2n-1

2n

．∴a_n=

2n

2n-1

．
故数列{a_n}的通项公式是a_n=

2n

2n-1

．
（Ⅱ）∵a_n=

2n

2n-1

，
∴a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，，n），
当i≥2时，
∵a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

，
∴a_i（a_i-1）=a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

+…+

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+（

1

21-1

-

1

22-1

）+（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+（

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）
=2+1-

1

2n-1

=3-

1

2n-1

＜3．

点评：考查学生对等比关系的判断能力，会利用数列的递推式的能力，以及不等式的证明能力．