Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点． (1) 求证：AF∥平面PEC (2) 若AD＝2，CD＝2，二面角P－CD－B为．求点F到平面PEC距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：(1)方法一　取PC中点G，连结FG、EG，则FG∥CD，且FG=CD， 　　∴FG平行等于AE，∴四边形AEGF是平行四边形，则AF∥EG．∵EG平面PEC，∴AF∥平面PEC． 　　方法二　取CD中点M，连结FM、AM，再证平面AMF∥平面PFC，而AF平面AMF，∴AF∥平面PEC． 　　点评：求点面距离的关键是作垂线时确定垂足的位置，一般要利用面面垂直的性质．
(2)	证CD⊥平面PAD，∴∠PDA就是二面角P－CD－B的平面角，∴∠PDA=．在等腰Rt△PAD中，∵F是PD中点，∴AF⊥ PD，则可证AF⊥平面PCD，∴EG⊥平面PCD． 　　又EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．作FH⊥PC于H，则可证FH⊥平面PFC，即FH就是点F到平面PEC的距离． 　　在Rt△PFG中，FH=＝1． 　　点评：本题也可用“三棱锥体积法”，即利用三棱锥可换底的特征，即由VF－PEC=VE－PFC来求，也可以先转化为求A到平面PEC的距离，再利用VA－PEC=VP－AEC来求．