Question

已知曲线C_n：y＝nx²，点P_n(x_n，y_n)(x_n＞0，y_n＞0)是曲线C_n上的点(n＝1,2，…).

(1)试写出曲线C_n在点P_n处的切线l_n的方程，并求出l_n与y轴的交点Q_n的坐标；

(2)若原点O(0,0)到l_n的距离与线段P_nQ_n的长度之比取得最大值，试求点P_n的坐标(x_n，y_n).

Answer 1

(1)∵y′＝2nx，∴y′|＝2nx_n，切线l_n的方程为：

y－n·x_n²＝2nx_n(x－x_n).

即：2nx_n·x－y－n·x_n²＝0，令x＝0，

得y＝－nx_n²，∴Q_n(0，－nx_n²).

(2)设原点到l_n的距离为d，则

d＝，

|P_nQ_n|＝.

所以＝≤＝，

当且仅当1＝4n²x_n²，即x_n²＝ (x_n＞0)时，等号成立，此时，x_n＝，所以，P_n(，).