Question

（2012•黄浦区二模）已知函数f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：
①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；
②函数f（x）一定存在零点；
③函数在区间（-∞，a]上单调递减；
④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a-a²．
那么所有真命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：（1）当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；
（2）二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标，举个反例即可；
（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；
（4）当0＜a＜1时，函数f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a-a²．

解答：解：由于函数f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），
①当a=0时，f（x）=x²，则f（x）是偶函数；
当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则-2a=0，即a=0．
故①为真命题．
②∵△=4a²-4a=4a（a-1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，
此时函数f（x）不存在零点，∴②是假命题．
③由于函数f（x）=x²-2ax+a在区间（-∞，a]上单调递减，
但函数f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）=x²-2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，
则函数f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R）在区间（-∞，a]上单调递减不一定成立．
故③是假命题．
④当0＜a＜1时，函数f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a-a²．
故④是真命题．
故答案为①④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了二次函数和分段函数的一些性质，我们可以根据函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．