Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明：函数有两个零点；

（2）当时，求函数在区间上的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为.

【解析】

（1）求出导函数，得到原函数的单调区间，利用零点存在性定理即可证明.

（2）解出导函数方程的根，讨论根与给定区间关系，分类讨论函数单调区间，从而求出函数最值.

（1）当时，.

令，得，

当时，在上为减函数；

当时，在上为增函数.

因为，

，

所以，当时，函数有两个零点.

（2）.

当时，令，得，

当时，在上为减函数；

当时，在上为增函数.

所以，当，即时，在上单调递增，

；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，；

当，即时，在上单调递减，.

综上所述，在上，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为.