Question

【题目】已知函数，．

求证：函数是上的增函数．

若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】证明见解析；.

【解析】

根据，求导得，令，则，因为，得出，所以在上是增函数，所以，则，即可求证结果；

由得，所以在上是增函数，且，，，分步讨论的取值，①时，，由，得，令，求出，进而得出；

②当时，有，由，得，则，令，算出，进而得出；③当时，不等式显然成立，综合得出实数的取值范围.

解：，

，

令，则，

因为，所以，

所以，所以，

所以在上是增函数，所以，则，

所以函数是上的增函数．

由得，所以在上是增函数，

且，，，

①时，，由，

得，令，

则，

因为，，所以，

所以．

②当时，有，由，得，

，令，

则，

因为，所以，

则，，

则，所以单调递减，所以，

所以，．

③当时，不等式显然成立．

综上所述，实数的取值范围是．