Question

（2006•海淀区二模）已知函数f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线与x轴平行．
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）当m=1时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又根据f′（2）=0可得到关于m的代数式；
（2）若m=1，则n=-3，得到f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0或f'（x）＜0，解出x，即可得到函数增减区间．

解答：解：（1）∵f（x）=mx³+nx²，
∴f'（x）=3mx²+2nx
由已知条件得：f'（2）=0
∴3m+n=0  
∴n=-3m
（2）若m=1，则n=-3
∴f（x）=x³-3x²，
∴f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0，∴x＜0或x＞2．         
令f'（x）＜0，得0＜x＜2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）
∴f（x）的单调递减区间为（0，2）．

点评：本题主要考查通过求函数的导数来求函数增减区间的问题．