Question

15．已知斜率$k=\frac{1}{2}$且过点A（7，1）的直线l₁与直线l₂：x+2y+3=0相交于点M．
（Ⅰ）求以点M为圆心且过点B（4，-2）的圆的标准方程C；
（Ⅱ）求过点N（4，2）且与圆C相切的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点斜式，可得直线l₁的方程，联立直线l₂的方程可得圆心M坐标，由两点之间距离公式，求出半径，可得圆的标准方程；
（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况两种情况，分别求出与圆C相切的直线方程，综合可得答案．

解答 （本小题满分11分）
解：（Ⅰ）依题意得，直线l₁的方程为$y-1=\frac{1}{2}（x-7）$，即x-2y-5=0．（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+3=0\\ x-2y-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}\right.$．
即点M的坐标为M（1，-2）．（4分）
设圆C的半径为r，则r²=|BM|²=（4-1）²+（-2+2）²=9．（5分）
所以，圆C的标准方程为（x-1）²+（y+2）²=9．                  （6分）
（Ⅱ）①因为圆C过点B（4，-2），所以直线x=4为过点N（4，2）且与圆C相切的直线．
（8分）
②设过点N（4，2）且与圆C相切的直线方程的斜率为k₁，
则直线方程为k₁x-y+2-4k₁=0．（9分）
由$\frac{{|{{k_1}+2+2-4{k_1}}|}}{{\sqrt{k_1^2+1}}}=3$，得${k_1}=\frac{7}{24}$，即7x-24y+20=0是圆C的一条切线方程．（10分）
综上，过点N（4，2）且与圆C：（x-1）²+（y+2）²=9相切的直线方程为7x-24y+20=0和x=4．（11分）

点评 本题考查的知识点是，直线方程，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，难度中档．