Question

下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

a_ij（ij∈N⁺），则：
（Ⅰ）a₉₉=

82

；
（Ⅱ）表中数82共出现

5

次．

Answer 1

分析：（I）根据表中的规律可得第i行等差数列的公差为i，由此算出第一行数组成的数列通项为a_1j=j+1，再根据第j列等差数列的公差等于j，算出a_ij=ij+1．由此代入数据即可算出a₉₉的值；
（II）由（I）中求出的通项公式a_ij=ij+1，可得a_ij=82即ij=81，算出i、j的情况有5种，由此可得表中数82共出现5次．

解答：解：根据题意，第i行的等差数列的公差为i，第j列的等差数列的公差等于j，（i、j∈N⁺），
∴第一行数组成的数列a_1j（j=1，2，…）是以2为首项，公差为1的等差数列，
可得a_1j=2+（j-1）×1=j+1，
又∵第j列数组成的数列A_1j（i=1，2，…）是以a_1j为首项，公差为j的等差数列，
∴a_ij=a_1j+（i-1）×j=（j+1）+（i-1）×j=ij+1．
（I）∵a_ij=ij+1，∴a₉₉=9×9+1=82；
（II）由a_ij=ij+1=82，得ij=81，
∴i=81且j=1、i=1且j=81、i=3且j=27、i=27且j=3或i=j=9，可得等于82的项共有5项．
因此表中82总共出现5次．
故答案为：82，5

点评：本题给出“森德拉姆素数筛”的例子，求表格中的指定项，并求82在表中出现了几次．着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于中档题．