Question

已知函数f（x）=（x²+1）e^2x，若0°＜2α＜90°，90°＜β＜180°a=（sinα）^cosβ，b=（cosα）^sinβ，c=（cosα）^cosβ，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（　　）

A．f（a）＜f（b）＜f（c）

B．f（a）＞f（b）＞f（c）

C．f（a）＞f（c）＞f（b）

D．f（a）＜f（c）＜f（b）

Answer 1

分析：先判断函数f（x）的单调性，根据α，β的范围可判断cosα，cosβ，sinα，sinβ的大小关系及符号，根据指数函数及幂函数单调性即可比较大小．

解答：解：f′（x）=2x•e^2x+（x²+1）•2e^2x=2e^2x（x+x²+1），
因为x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0，
所以f′（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增．
由0°＜2α＜90°得0°＜α＜45°，所以0＜cosα＜1，
又90°＜β＜180°，所以sinβ＞0＞cosβ，所以（cosα）^sinβ＜（cosα）^cosβ，即b＜c；
由cosβ＜0及sinα＜cosα，得（sinα）^cosβ＞（cosα）^cosβ，即a＞c，
综上，a＞c＞b，又f（x）单调递增，所以f（a）＞f（c）＞f（b），
故选C．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查指数函数、幂函数单调性的应用，考查三角函数值的大小比较，考查学生综合运用知识解决问题的能力．