Question

18．已知x，y∈R⁺，满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，则y的最大值为$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 变形已知式子可得yx²+（y²-1）x+4y=0，问题等价于关于x的方程有正实数根，由△≥0和x₁x₂=$\frac{4y}{y}$=4＞0可得y的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵x，y∈R⁺，满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，
∴变形可得yx²+（y²-1）x+4y=0，
∵关于x的方程有正实数根，
∴△≥0，又x₁x₂=$\frac{4y}{y}$=4＞0，∴x₁与x₂同号，
∴x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0可得（y²-1）²-16y²≥0，
分解因式可得（y²+4y-1）（y²-4y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-4y-1＜0，
∴y²+4y-1≤0，解得0＜y≤$\sqrt{5}$-2，
∴实数y的取值范围是（0，$\sqrt{5}$-2]
故答案为：$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查不等式求式子的范围，涉及一元二次方程的根的分布和一元二次不等式的解法，属中档题．