Question

已知函数的图象过原点，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）若y=F（x）在x=-1处取得极大值2，求函数y=F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若使g（x）=0的x值满足，求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求F（x）的解析式，只需得到含两个a，b的等式，根据函数F（x）在x=-1处有极大值，可知，函数在x=-1处导数等于0，根据极大值为2，可知，x=-1时，函数值等于7，这样，就可求出a，b．对函数求导，再令导数大于0，解出x的范围，为函数的增区间，令导数小于0，解出x的范围，为函数的减区间．
（Ⅱ）由题意，f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），联立可得ax²-（3a+c）x+a+2c=0，利用韦达定理，可求线段AB在x轴上的射影长．从而可求线段AB在x轴上的射影长的取值范围．
解答：解：∵F（x）的图象过原点，∴d=0．
又f（x）=F'（x）=ax²-2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）
（Ⅰ）由y=F（x）在x=-1处取得极大值2知：f（-1）=a+2b+c=0，…②
，…③…（4分）
由①②③得解：a=3，b=0，c=-3，
∴F（x）=x³-3x．…（5分）
由f（x）=3x²-3≥0，得x≥1或x≤-1；由f（x）=3x²-3≤0，得-1≤x≤1．
∴F（x）的单调递减区间为[-1，1]，单调递增区间为（-∞，-1]和[1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），
由，得ax²-（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）
设A，
∴线段AB在x轴上的射影长．…（9分）
由．…（（10分）
∴当，
∴．…（12分）
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，考查曲线相交，有一定的综合性．