Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.5]=-2．若集合A={x|x²-[x]-1=0}，，则A∩B=________．

Answer 1

分析：把集合A中的方程变形为x²=[x]+1，根据题中的新定义可知x²为整数，然后求出方程x²-x-1=0的解，根据新定义求出解在新定义条件下满足的值，经过检验得到集合A中的元素，由指数函数的单调性可得集合B中不等式的解集即可求出集合A，求出两集合的交集即可．
解答：由集合A中的等式x²-[x]-1=0变形得：x²=[x]+1，由题意可知x²为整数，
而x²-x-1=0的解为x=，则[]=1，[]=-1，
所以x²=[x]+1=1+1=2，解得x=±或x²=-1+1=0，解得x=0，
经检验：x=-，x=0不合题意舍去，所以x=，则集合A={}；
由集合B中的不等式得：2^-1＜2^x＜2²，由2＞1，得到指数函数为增函数，
所以-1＜x＜2，则集合B=（-1，2），
则A∩B={}．
故答案为：{}．
点评：此题考查学生掌握新定义的意义以及灵活运用新定义解决数学问题，掌握指数函数的单调性，会求两集合的交集，是一道中档题．