Question

（2011•江苏模拟）在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，面积S_△ABC=6．
（Ⅰ）求△ABC的三边的长；
（Ⅱ）设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AC，BC，AB的距离分别为x，y和z，求x+y+z的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理将题中条件角的关系转化成边的关系，得到直角三角形ABC，再结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．
（2）欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)，最后结合线性规划的思想方法求出范围即可．

解答：解：设AB=c，AC=b，BC=a．
（Ⅰ）

bccosA=9 bcsinA=12

⇒tanA=

4

3

，sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
bc=15，

sinB

sinC

=cosA⇒

b

c

=

3

5

，
由

bc=15 b c = 3 5

⇒

b=3 c=5

，
用余弦定理得：a=4…（7分）
（Ⅱ）2S△ABC=3x+4y+5z=12⇒x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)
设t=2x+y，

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

由线性规划得0≤t≤8．
∴

12

5

≤x+y+z≤4．…（13分）

点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，属于中档题．